\(F\in\mathcal C^1({\Bbb R},{\Bbb R})\) et \(Y_0\in{\Bbb R}\)
\((Y,]T_{min},T_{max}[)\) la solution du problème de Cauchy
\(0\lt \Delta t\leqslant\Delta t^*\) et \((t_n=n\Delta t)_{n\geqslant0}\)
\((y_n)_{n\geqslant0}\) donnée par le schéma d'Euler
Alors, pour tout \(T\leqslant T_{max}\), il existe \(C_{T,F}\) telle que : $$\max_{n\geqslant0,t_n\leqslant T}\lvert Y(t_n)-y_n\rvert\leqslant C_{T,F}\Delta t$$
(Problème de Cauchy)
Méthode numérique
La méthode numérique est dite convergente si $$\varepsilon(\Delta t)=\max_{0\leqslant n\leqslant N}\lvert e_n\rvert\underset{\Delta t\to0}\longrightarrow0$$
La méthode numérique est dite d'ordre \(p\) s'il existe \(C_{F,T}\) tel que : $$\varepsilon(\Delta t)\leqslant C_{F,T}\Delta t^p$$
